Mathematical modeling and prediction of tissue properties in the treatment of pseudarthrosis

Abstract

The results of a study of the physiological and mechanical properties of tissues involved in autocompression (inter-pressure of fragments due to the tension of soft tissues and muscle traction) during osteosynthesis of pseudoarthrosis are presented. It was found that the contribution of muscle tone to the resulting stresses does not exceed 5%.

Full Text

Приводятся результаты исследования физиологических и механических свойств тканей, участвующих в аутокомпрессии (взаимодавление отломков за счет напряжения мягких тканей и мышечной тракции) при остеосинтезе псевдоартрозов. Установлено, что вклад мышечного тонуса в получаемые напряжения не превышает 5%. Предложена математическая модель физико-механических свойств тканей, которая позволяет количественно описывать процесс растяжения и прогнозировать выбор оптимальных величин напряжений (Р=Р_о exp (СΔ1), что имеет практическое значение в клинике.

Ранее нами был описан метод лечения ложных суставов с применением аппарата собственной конструкции (1). Метод основан на использовании упругости мягких тканей, преимущественно капсулы псевдоартроза и контрактуры поврежденной конечности, для взаимо- давления отломков, т. е. на применении компрессии фрагментов собственными тканями — аутокомпрессии. В данной статье изложены результаты изучения физико-механических свойств отдельных тканей в условиях эксперимента (20 собак) и клинических наблюдений (15 больных с ложными суставами длинных трубчатых костей). Наряду с чисто механическими параметрами мы учитывали и физиологические свойства тканей, из которых наиболее вариабельными являются контрактура тканей и мышечный тонус, возникающие за счет эфферентной импульсации.

В эксперименте и клинике выполнены исследования с применением миорелаксанта недеполяризующего действия — ремиолана (из расчета 1 мг на 1 кг массы тела), снимающего в процессе растяжения мышечный тонус. Для восстановления мышечного сокращения использовали антидот ремиолана — 0,1% раствор прозерина в количестве 1 —1,5 мл.

Результаты исследования приведены в таблице.

Влияние ремиолана на напряжение в тканях при аутокомпрессии в эксперименте

	1-й	2-й	3-й	4-й	5-й	6-й	7-й
Р1 при Р = 20 кг	19	19,5	19	19	19,5	19	19
Р1 при Р = 60 кг	58	57,5	56,5	57	58	58	57,5
Р1 при Р = 80 кг	77	77	76	76	76,5	77	77

Примечание. Р — напряжение, создаваемое в тканях до воздействия миорелаксанта; Р1—напряжение после воздействия ремиолана (Р<0,001).

Рассчитанное из этих данных среднее значение относительной доли силы мышечного тонуса $\left(\frac{P-P_1}{P}\right)$ равно 0,4±0,01 (Р<0,001), т. е. эта величина на два порядка меньше компрессии за счет упругости тканей, обусловленной их чисто механическими свойствами. Кроме этого, мы изучили действие наркотика (тиопентала натрия), который вызывает снижение тонуса мышечной ткани. Оказалось, что после прекращения действия наркотика сила напряжения тканей увеличивалась на 3—4%.

Из изложенного следует, что усилие эластической аутокомпрессии в основном обусловлено механическими свойствами тканей, поэтому мы сочли необходимым более детально их исследовать. Прежде всего надо отметить нелинейный характер зависимости приращения абсолютного удлинения тканей (dl) от приращения усилия (dP), создаваемого нами. Иными словами, наблюдается существенное отклонение от закона упругой деформации Гука, для которого:

                                                                         dl — αdP                                                       (1)

Здесь константа — $\frac{l_0}{ES}$, где l₀—начальная длина объекта, S — площадь его поперечного сечения (в наших случаях мы считаем ее приближенно постоянной), Е —модуль Юнга — константа, зависящая, от свойств объекта.

По нашим данным, dl существенно зависело от приложенного усилия Р, поэтому для моделирования рассматриваемых процессов растяжения псевдоартрозов мы перешли к уравнению в котором k может принимать различные значения:

                                                                         dl=αР^k dP,                                                    (2)

Данное уравнение имеет два возможных решения (для k>1 и для k<1), которые можно записать в факторизованном виде:

                                                                         Δl = аР^b,                                                       (3)

где α = а∙b, k = b-1;

                                                                         Р = P₀ exp (CΔl),                                         (4)

где $C=\frac{1}{a}$

В уравнении (3) предполагаем, что Р в начале растяжения равно 0, чего, однако, нельзя сделать в (4), так как здесь постоянная Р₀>0 в любом случае, и ее можно интерпретировать как существование некоторого собственного напряжения в тканях, имеющегося до создаваемого нами усилия.

Нами была составлена программа для подбора на ЭВМ «Мир-1» коэффициентов, а и b, соответствующих реальным условиям лечения псевдоартрозов методом аутокомпрессии. Полученные результаты показывают хорошее совпадение фактических и теоретических зависимостей Δl от Р со средними значениями, а=1,7 и b—0,51 и коэффициентом корреляции не ниже 0,95. Однако в области больших Р мы всегда получали некоторое завышение значений Δl в сравнении с фактическими результатами. В связи с этим мы составили программу на ЭВМ по подбору коэффициентов Р₀ и С в уравнении (4) и получили весьма точное совпадение теоретических и фактических данных при средних значениях Р₀=1,7 и С=0,25 с коэффициентом корреляции не ниже 0,98.

Итак, если приращение абсолютного удлинения dl прямо пропорционально приращению силы dP и обратно пропорционально имеющейся силе напряжения в тканях Р, то получаемая математическая модель более точно описывает процесс растяжения тканей, чем обычная политропическая зависимость вида (3), при этом модель указывает на существование некоторой собственной силы напряжения в тканях.

График зависимости абсолютного удлинения Δl тканей, участвующих в аутокомпрессии, от приложенного усилия Р.

Сплошная линия — фактическая кривая. Пунктирная кривая составлена по модели (3) при а=1,58 и b=0,56. Штрихпунктирная кривая составлена по модели (4) при Р₀ = 1,7 и С = 0,248

Применение метода аутокомпрессии требует определения максимально допустимого напряжения Р * в капсуле, при превышении которого возможен весьма нежелательный разрыв ее с последующим уменьшением компрессии, что регистрируется показанием динамометра или визуально. Из наших клинических наблюдений следует, что объективным показателем предельно допустимых напряжений служит не величина абсолютного значения Р, которая колеблется в зависимости от давности псевдоартроза, возраста, пола пациента и других причин в весьма широких пределах, а значение производной dl/dP. Как известно, геометрический смысл этой величины — тангенс угла наклона (tgβ) касательной к графику функции, проведенной в некоторой точке графика с координатами Δl и Р. После статистического анализа случаев, закончившихся разрывом капсулы псевдоартроза, нами было установлено предельно допустимое значение tgβ*, при переходе через которое наступает разрыв капсулы. Затем нами была составлена программа для ЭВМ по математическому моделированию процесса растяжения тканей и одновременному расчету tgβ*. По нескольким начальным значениям Δl и Р, получаемым в клинике или эксперименте, ЭВМ строила теоретическую кривую зависимости Δl=F(Р) и вычисляла значения Р*, при котором dl/dP ≤ tgβ*. Полученное Р* соответствует оптимальной силе напряжения тканей.

Таким образом мы составляли прогноз относительно оптимальных значений Р*, превышение которых может привести к нежелательному разрыву капсулы. Результаты расчетов свидетельствуют о достаточно точном прогнозировании. Расчеты производились по ретроспективным данным, при этом разброс теоретических значений Р от фактически наблюдаемых, при которых наступал разрыв капсулы псевдоартроза, не прывышал 6 кг.

В качестве примера приведем один из графиков функциональной зависимости Δl = F (Р) для больного К. (история болезни № 156 1972 г.), страдавшего ложным суставом левой локтевой кости 10-месячной давности (см. рис.). С коэффициентом корреляции r = 0,99 модель (4) описывает процесс растяжения мягких тканей предплечья больного. Выбранное значение предельного напряжения Р = 89 кг, предшествующего возможному разрыву капсулы, у данного больного соответствует оптимальному значению Р, рассчитанному с применением ЭВМ. Это наглядно демонстрирует целесообразность применения описанного метода.

Большой интерес представляет изучение динамики свойств тканей в аутокомпрессии. В течение 3 месяцев мы производили регистрацию показаний динамометра аппарата силы аутокомпрессии на животных (собаках). Оказалось, что через 5—7 дней после операции сила взаимодавления уменьшалась, затем

она стабилизировалась, являясь средней величиной между снижающимся эластическим напряжением капсулы псевдоартроза, с одной стороны, и нарастанием силы мышечного сокращения, с другой. Последнее особенно было заметно с момента, когда собака начинала пользоваться при ходьбе поврежденной конечностью. Во время нагрузки на конечность сила взаимодавления увеличивалась на 3—5 кг. Через 2,5—3 месяца с момента операции оставалась половина силы первично заданной компрессии.

Полученные нами данные используются в клинике. Во время остеосинтеза, учитывая динамику аутокомпрессии в послеоперационном периоде, задается такая сила взаимодавлениия, которая обеспечивала бы оптимальные условия регенераторному процессу. Методом эластического аутокомпрессионнoго остеосинтеза оперировано 285 больных с ложными суставами длинных трубчатых костей, включая и больных, которым применяли математическое моделированиие и прогнозирование. Изучение отдаленных результатов лечения в сроки от 1 года до 10 лет у 262 больных показало, что у 159 из них (60,7%) получен хороший исход, у 94 (35,9%) —удовлетворительный и у 9 (3,4%) —плохой.

Выводы

1. Определяющую роль в аутокомпрессии при остеосинтезе играют механические свойства тканей, а вклад мышечного тонуса за счет эфферентной импульсации не превышает 5%.
2. Использование математической модели растяжения тканей помогает количественно описать этот процесс и позволяет прогнозировать выбор оптимальных величин напряжений, что имеет практическое значение в клинике.