


Том 59, № 1 (2023)
Статьи
Евгений Иванович Моисеев (07.03.1948-25.12.2022)
Аннотация



Критерии единственности решения нелокальной по времени задачи для дифференциально-операторного уравнения $l(\cdot)-a$ с оператором трикоми $a$
Аннотация
Исследуется вопрос единственности решения регулярной по времени задачи для дифференциально-операторного уравнения $l(\cdot)-A$ с оператором Трикоми $A.$ Порядок дифференциального выражения $l(\cdot)$ считается произвольным натуральным числом $n,$ а регулярные краевые условия задаются по временной переменной $t.$ Оператор $A$ является порождённым уравнением Трикоми $Av(\cdot)=yv_{xx}(\cdot)+v_{yy}(\cdot).$ Граничные условия для оператора Трикоми задаются условием Дирихле на эллиптической части и дробными производными следами решения вдоль характеристик. Указывается, что данный оператор является самосопряжённым оператором в пространстве $L_2(\Omega).$ Самосопряжённость оператора $A$ гарантирует существование полной ортонормированной в $L_2(\Omega)$ системы собственных функций, если $\Omega $ -- область, ограниченной кривой Ляпунова и характеристиками волнового уравнения.



Свойства вырожденных систем линейных интегро-дифференциальных уравнений и начальных задач для них
Аннотация
Рассматриваются системы интегро-дифференциальных уравнений высокого порядка с тождественно вырожденной в области определения матрицей перед старшей производной искомой вектор-функции. Приведены критерии разрешимости таких систем уравнений и начальных задач для них, примеры, иллюстрирующие теоретические результаты.






Эквивалентность энтропийных и ренормализованных решений нелинейной эллиптической задачи в пространствах Музилака–Орлича
Аннотация
Рассматриваются эллиптические уравнения второго порядка с нелинейностями, определяемыми функциями Музилака-Орлича, и правой частью из пространства $L_1(\Omega).$ В пространствах Музилака-Орлича-Соболева устанавливаются некоторые свойства и единственность как энтропийных, так и ренормализованных решений задачи Дирихле в областях с липшицевой границей. Кроме того, доказывается эквивалентность и знакоопределённость энтропийных и ренормализованных решений.



Разрушение решения и глобальная разрешимость задачи Коши для модельного уравнения в частных производных третьего порядка
Аннотация
Для нелинейного дифференциального уравнения в частных производных третьего порядка, обобщающего уравнение колебаний кручения цилиндрического стержня при учёте внутреннего и внешнего затухания и моделирующего распространение продольных волн напряжения вдоль одномерного вязкоупругого стержня, материал которого подчиняется закону деформирования среды Фойгхта-Кельвина, получены условия существования глобального решения и разрушения решения задачи Коши на конечном временном отрезке.



Проекторный подход к построению асимптотики решения начальных задач для слабо нелинейных дискретных систем с малым шагом в критическом случае
Аннотация
Алгоритм построения асимптотического решения начальной задачи, содержащего пограничные функции, для слабо нелинейной системы дискретных уравнений с малым шагом в критическом случае при некоторых условиях приведён в статье В.Ф. Бутузова и А.Б. Васильевой (Дифференц. уравнения. 1970. Т. 6. № 4. С. 650-664). В настоящей работе для построения асимптотики решения этой задачи используются ортогональные проекторы. Такой проекторный подход существенно упрощает понимание алгоритма построения асимптотики и позволяет записать в явном виде задачи, из которых можно найти члены асимптотики решения любого порядка.



Асимптотика решения линейных сингулярно возмущённых задач оптимального управления с интегральным выпуклым критерием качества и ``дешёвым'' управлением
Аннотация
Рассмотрена задача оптимального управления для линейной системы с постоянными коэффициентами с интегральным выпуклым критерием качества, содержащим малый параметр при интегральном слагаемом, в классе кусочно-непрерывных управлений с гладкими геометрическими ограничениями. Такие задачи называют задачами с ``дешёвым'' управлением. Показано, что предельной задачей будет задача с терминальным критерием качества. Установлено, что если терминальное слагаемое критерия качества является выпуклой (строго выпуклой) и непрерывно дифференцируемой функцией, то функционал качества в предельной задаче обладает аналогичными свойствами. Доказано, что в общем случае справедлива сходимость по функционалу качества, а при условии строгой выпуклости терминального слагаемого критерия качества в исходной задаче справедлива сходимость к точке минимума терминального слагаемого критерия качества в предельной задаче. Найден предел определяющего вектора в исходной задаче при стремлении малого параметра к нулю. В частности, показано, что первая компонента определяющего вектора в исходной задаче сходится к определяющему вектору в предельной задаче. Подробно рассмотрены задачи управления точкой малой массы в среде с сопротивлением и без, с терминальной частью, зависящей как от медленных, так и от быстрых переменных, и построены полные асимптотические разложения определяющих векторов в этих задачах.



О линеаризации нелинейных систем с одним управлением на основе масштабирования времени и однократного продолжения
Аннотация
Доказывается необходимое и достаточное условие линеаризуемости нелинейных систем с одним управлением в классе преобразований, содержащих масштабирования времени и сохраняющих многообразие состояний. Даётся описание систем, которые получены однократным продолжением нелинейной системы с одним управлением и являются $A$-орбитально линеаризуемыми. Доказывается, что из $A$-орбитальной линеаризуемости системы, полученной однократным продолжением аффинной системы с одним управлением, следует $A$-орбитальная линеаризуемость и исходной системы. Показывается, что если система, полученная $k$-кратным продолжением нелинейной системы с одним управлением, где $k\ge 2,$ $A$-орбитально линеаризуема, то и система, полученная из исходной системы её однократным продолжением, также $A $-орбитально линеаризуема.



Численное построение трансформанты ядра интегрального представления оператора Пуанкаре-Стеклова для упругой полосы
Аннотация
Рассмотрен оператор Пуанкаре-Стеклова для изотропной стратифицированной упругой полосы, отображающий на части границы нормальные напряжения в нормальные перемещения. Для построения трансформанты ядра интегрального представления этого оператора предложен новый подход. Получена вариационная формулировка краевой задачи для трансформант перемещений. Дано определение и доказаны существование и единственность обобщённого решения задачи. Построен итерационный метод решения вариационных уравнений и на основе принципа сжатых отображений получены условия его сходимости. Аппроксимация вариационных уравнений проводилась методом конечных элементов. В результате на каждом шаге итерационного метода требуется решить две независимые системы линейных алгебраических уравнений, для решения которых применяется метод прогонки. Предложен эвристический алгоритм выбора последовательности параметров итерационного метода, обеспечивающей его сходимость. Проведена верификация разработанного вычислительного алгоритма и даны рекомендации по использованию адаптивных конечно-элементных сеток.



Непрерывный метод нахождения обобщённой неподвижной точки нерастягивающего отображения на множестве гильбертова пространства
Аннотация
Введено понятие обобщённой неподвижной точки нерастягивающего оператора на выпуклом замкнутом множестве гильбертова пространства. Для её нахождения построен регуляризирующий алгоритм в форме задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка, установлены достаточные условия сильной сходимости получаемых приближений к нормальной обобщённой неподвижной точке при приближённом задании нерастягивающего оператора и выпуклого замкнутого множества, на котором находится искомая обобщённая неподвижная точка оператора. Приведены примеры параметрических функций, обеспечивающих сходимость приближений по норме гильбертова пространства к нормальной обобщённой неподвижной точке оператора на выпуклом замкнутом множестве этого пространства.



Об одном нелинейном обыкновенном дифференциальном уравнении второго порядка
Аннотация
Рассмотрено нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка специального вида, частный случай которого возникает при построении точных решений уравнения нелинейной теплопроводности со степенным коэффициентом. Получены условия на параметры, при которых уравнение допускает однократное интегрирование. Приведён ряд примеров построения точных решений, выражаемых через элементарные функции или через функцию Ламберта.





