How additive interference and phase fluctuations influence the performance of a synthetic aperture antenna on an arbitrary aircraft path

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

В работах [1–5] исследовано влияние фазовых флуктуаций (ФФ) принимаемых сигналов в радиолокационных станциях (РЛС) с синтезированной апертурной антенной (САА) на разрешение по азимуту и точность определения азимута неподвижных движущихся [1, 2] наземных объектов (целей) при произвольных траекториях полета летательного аппарата (ЛА) и угле β_н [3] без учета аддитивных помех.

Рассмотрим и проанализируем влияние фазовых флуктуаций и аддитивных помех на указанные основные характеристики САА при произвольной траектории ЛА и наземных объектов.

Оценка влияния фазовых флуктуаций и аддитивных помех на основные характеристики синтезированной апертурной антенны при произвольной траектории полета летательного аппарата и наземных объектов

Оценку будем осуществлять с помощью метода моментов по модулю функции выходного сигнала, радиолокационного изображения (РЛИ), системы обработки.

Сигнал на выходе системы обработки САА, отраженный от i-го движущегося объекта Ц_i [3]:

$S_n\left({\mathrm{\beta }}_i,\tau \right)=A\left({\mathrm{\beta }}_i,\tau \right)\text{exp}\left\{-i\left[kD\left({\mathrm{\beta }}_i,\tau \right)-{\mathrm{\beta }}_c\left(\tau \right)\right]\right\}+\dot{n}\left(\tau \right)$, (1)

где $A\left({\mathrm{\beta }}_i,\tau \right)$ ― амплитуда сигнала; ${\mathrm{\beta }}_i$ ― угол наблюдения i-го движущегося объекта относительно оси $O_1{Y}_1$ системы координат синтезирования $O_1{X}_1{Y}_1{Z}_1$; τ ― текущее время на пространственном интервале синтезирования (ИС) $L_c$, которому соответствует временной ИС $T_{\text{c}}\left(\left|\tau \right|\le T_c/2\right)$; $k=4\mathrm{\pi }/\mathrm{\lambda }$ ― удвоенное волновое число; λ ― длина волны САА; $D\left({\mathrm{\beta }}_i,\mathrm{\tau }\right)$ ― расстояние между фазовым центром антенны (ФЦА) и i-м объектом на ИС; ${\mathrm{\beta }}_c\left(\mathrm{\tau }\right)$ ― флуктуации фазы, обусловленные различными физическими процессами [6]; $\dot{n}\left(\mathrm{\tau }\right)$ ― аддитивная комплексная помеха с нулевым математическим ожиданием и практически постоянным значением спектральной плотности в полосе пропускания приемника САА, с временем корреляции, значительно меньшим T_c.

На рис. 1 изображены две правые ортогональные системы координат: нормальная земная система координат (НЗСК) О₀Х_gY_gZ_g и подвижная система координат синтезирования (СКС) О₁Х₁Y₁Z₁, ось О₁Z₁ которой проходит по местной вертикали через ФЦА в момент времени t полета, совпадающий с центром каждого временного ИС $\left(\mathrm{\tau }=0\right)$.

 

Рис. 1. Геометрическое пояснение двух правых ортогональных систем координат.

Fig. 1. Geometric interpretation of two right-handed orthogonal coordinate systems.

 

Ось $O_1{Y}_1$ проходит в тот же момент времени через опорную точку Ц₀ , расположенную под углом β_н относительно вектора ν_n путевой скорости ЛА. Углы ψ_к и γ_к ― соответственно углы карты и падения; ν_к ― вектор земной (полной) скорости ФЦА (ЛА); β ― текущее значение азимутального угла относительно оси O₁Y₁ в пределах углового размера β_к кадра РЛИ (для упрощения записи аргумент t в последующих соотношениях опущен); 1 и 2 ― траектория и линии пути ФЦА (ЛА), 3 и 4 ― кадр РЛИ и полоски равных дальностей.

При обработке в РСА сигнала (1) методом гармонического анализа сигнал на выходе линейной части системы обработки [2]:

$\dot{\mathrm{F}}\left({\mathrm{\alpha }}_0,{\mathrm{\omega }}_0,\mathrm{\omega }\right)={\int }_{-{\mathrm{T}}_{\mathrm{c}}/2}^{{\mathrm{T}}_{\mathrm{c}}/2}\mathrm{A}\left({\mathrm{\beta }}_{\mathrm{i}},\mathrm{\tau }\right)\dot{\mathrm{H}}\left({\mathrm{\alpha }}_0,{\mathrm{\omega }}_0,\mathrm{\omega }\right)\text{exp}\left\{-\mathrm{i\omega \tau }\right\}\mathrm{d\tau }+$

$+{\int }_{-{\mathrm{T}}_{\mathrm{c}}/2}^{{\mathrm{T}}_{\mathrm{c}}/2}\dot{\mathrm{n}}\left(\mathrm{\tau }\right)\dot{\mathrm{H}}\left(\mathrm{\tau }\right)\text{exp}\left\{\mathrm{ikD}\left(\mathrm{\tau }\right)\right\}\text{exp}\left\{-\mathrm{i\omega \tau }\right\}\mathrm{d\tau }$, (2)

где ω ― круговая частота; H(τ) ― весовая функция, обычно являющаяся четной функцией [1]; $D\left(\mathrm{\tau }\right) = D\left(\mathrm{0,}\mathrm{\tau }\right)$ ― текущее расстояние «ФЦА-Ц₀» на ИС;

${\mathrm{\omega }}_0=\mathrm{k}\left[{\mathrm{v}}_{\mathrm{RЦ}}+{\mathrm{\beta }}_{\mathrm{i}}\left({\mathrm{v}}_{{\mathrm{ЦX}}_1}-{\mathrm{v}}_{{\mathrm{X}}_1}\right)\text{sin}\mathrm{\gamma }+{\mathrm{\beta }}_{\mathrm{i}}^2\left({\mathrm{v}}_{{\mathrm{ЦY}}_1}-{\mathrm{v}}_{{\mathrm{Y}}_1}\right)\text{sin}\mathrm{\gamma }/2\right];$ (3)

${\mathrm{\alpha }}_0=\mathrm{k}\left\{{\mathrm{a}}_{\mathrm{RЦ}}+\right.{\mathrm{a}}_{\mathrm{RK}}+{\mathrm{\beta }}_{\mathrm{i}}\left[\left({\mathrm{a}}_{{\mathrm{ЦX}}_1}-{\mathrm{a}}_{{\mathrm{X}}_1}\right)\text{sin}\mathrm{\gamma }-{\mathrm{a}}_{{\mathrm{RK}}_1}\right]+{\mathrm{\beta }}_{\mathrm{i}}^2\left[\left({\mathrm{a}}_{{\mathrm{ЦY}}_1}-{\mathrm{a}}_{{\mathrm{Y}}_1}\right)\text{sin}\mathrm{\gamma }-{\mathrm{a}}_{{\mathrm{RK}}_2}\right]/\left.2\right\}/2$ (4)

$\dot{\mathrm{H}}\left({\mathrm{\alpha }}_0,{\mathrm{\omega }}_0,\mathrm{\omega }\right)=\mathrm{H}\left(\mathrm{\tau }\right)\text{exp}\left\{\mathrm{i}\left[{\mathrm{\alpha }}_0{\mathrm{\tau }}^2+{\mathrm{\omega }}_0\mathrm{\tau }+{\mathrm{\beta }}_{\mathrm{с}}\left(\mathrm{\tau }\right)\right]\right\}$, (5)

где $v_{RЦ}$ и $a_{RЦ}$― радиальные скорость и ускорение движущегося объекта, цели, Ц_i относительно ФЦА при τ = 0; $v_{X_1}$, $v_{ЦX_1}$ и $v_{Y_1}$, $v_{ЦY_1}$ ― составляющие скоростей ФЦА и Ц_i по осям $O_1{X}_1$ и $O_1{Y}_1$ СКС в тот же момент времени; $a_{X_1}$, $a_{ЦX_1}$ и $a_{Y_1}$, $a_{ЦY_1}$ ― составляющие ускорения ФЦА и Ц_i по осям $O_1{X}_1$ и $O_1{Y}_1$ СКС при  τ = 0.

Приведенные скорости и ускорения, а также значения $a_{RК}$, $a_{RК1}$, $a_{RК2}$ определены в [2], где показано, что при линейной связи между текущими значениями угла β и круговой частотой $\mathrm{\omega }\left(\mathrm{\beta }\approx \frac{\mathrm{\omega }}{\left[k\left(v_{ЦX_1}-v_{X_1}\right)\text{sin}\gamma \right]}\right)$, математическое ожидание, дисперсия положения центра тяжести модуля выходного сигнала, характеризующие точность определения азимута объекта на РЛИ, и разрешение по азимутальному углу задаются равенствами:

$m_{\mathrm{\beta }}=\frac{m_{\mathrm{\omega }}}{\left[k\left(v_{ЦX_1}-v_{X_1}\right)\text{sin}\gamma \right]}$;

$D_{m_{\mathrm{\beta }}}=\frac{D_m}{{\left[k\left(v_{ЦX_1}-v_{X_1}\right)\text{sin}\gamma \right]}^2}$; (6)

${\mathrm{\delta \beta }}_A=2\left|R_{\mathrm{\beta }}\right|=2\left|\frac{R_{\mathrm{\omega }}}{\left[k\left(v_{ЦX_1}-v_{X_1}\right)\text{sin}\gamma \right]}\right|$,

где $R_{\mathrm{\beta }}$ ― радиус протяженности модуля выходного сигнала;

${\mathrm{m}}_{\mathrm{\omega }}=\mathrm{M}\left\{\mathrm{m}\right\}=\mathrm{M}\left\{\frac{{\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\omega }{\left|\dot{\mathrm{F}}\left({\mathrm{\alpha }}_0,{\mathrm{\omega }}_0,\mathrm{\omega }\right)\right|}^2\mathrm{d\omega }}}{{\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\left|\dot{\mathrm{F}}\left({\mathrm{\alpha }}_0,{\mathrm{\omega }}_0,\mathrm{\omega }\right)\right|}^2\mathrm{d\omega }}}\right\}$,

$D_m=M\left\{m^2\right\}-m_{\omega }^2$, (7)

${\mathrm{R}}_{\mathrm{\omega }}=\sqrt{\mathrm{M}\left\{\frac{{\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\omega }}^2{\left|\dot{\mathrm{F}}\left({\mathrm{\alpha }}_0,{\mathrm{\omega }}_0,\mathrm{\omega }\right)\right|}^2\mathrm{d\omega }}}{{\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\left|\dot{\mathrm{F}}\left({\mathrm{\alpha }}_0,{\mathrm{\omega }}_0,\mathrm{\omega }\right)\right|}^2\mathrm{d\omega }}}\right\}-\mathrm{M}\left\{{\mathrm{m}}^2\right\}}$. (8)

Здесь $M\left\{.\right\}$ ― операция статистического усреднения.

С помощью (2)–(8), используя теорию комплексных случайных процессов [7] и методику из [1], после преобразований можно получить соотношения для m_β, $D_{m_{\mathrm{\beta }}}$ и $R_{\mathrm{\beta }}$, в подынтегральные выражения которых входят дисперсия

$D_n=M\left\{{\left|\dot{n}\left(\mathrm{\tau }\right)\right|}^2\right\}$,

и корреляционная функция

$R_n\left({\tau }_1-{\tau }_2\right)=M\left\{\dot{n}\left({\tau }_1\right)n^{*}\left({\tau }_2\right)\right\}$,

аддитивной комплексной помехи, а также дисперсия

$D_{n\text{'}}=M\left\{{\left|\dot{n\text{'}}\left(\tau \right)\right|}^2\right\}$,

корреляционная функция

$R_{n\text{'}}\left({\tau }_1-{\tau }_2\right)=M\left\{\dot{n\text{'}}\left({\tau }_1\right)n^{*\text{'}}\left({\tau }_2\right)\right\}=\frac{{\partial }^2}{\partial {\tau }_1\partial {\tau }_2}{R}_n\left({\tau }_1-{\tau }_2\right)$,

производной этой помехи.

Так как по условию время корреляции аддитивной помехи значительно меньше T_c, а спектральная плотность $S_m\left(\mathrm{\omega }\right)$ этой помехи практически не изменяется в полосе пропускания приемника САА $(S_m\left(\mathrm{\omega }\right)\approx N_{п})$, с определенной степенью приближения можно получить [7]:

${\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}\left({\mathrm{\tau }}_2-{\mathrm{\tau }}_1\right)\approx {\mathrm{N}}_{\mathrm{п}}\mathrm{\delta }\left({\mathrm{\tau }}_2-{\mathrm{\tau }}_1\right)$;

$R_{n\text{'}}\left({\mathrm{\tau }}_1-{\mathrm{\tau }}_2\right)\approx N_{п}\frac{{\partial }^2}{\partial {\tau }_1\partial {\tau }_2}\mathrm{\delta }\left({\mathrm{\tau }}_2-{\mathrm{\tau }}_1\right)$,

где $\mathrm{\delta }\left({\mathrm{\tau }}_2-{\mathrm{\tau }}_1\right)$ ― дельта-функция Дирака.

Воспользовавшись теорией обобщенных функций [8–10], в частности фильтрующими свойствами дельта-функции и ее производных, соотношения для $m_{\mathrm{\beta }}$, $D_{m_{\mathrm{\beta }}}$и $R_{\mathrm{\beta }}$ можно упростить:

${\mathrm{m}}_{\mathrm{\beta }}=\mathrm{U}\left[{\mathrm{\omega }}_0+\frac{{\mathrm{\omega }}_{*}}{\mathrm{q}}+\frac{1}{{\mathrm{T}}_{\text{c}}{\mathrm{q}}_{\mathrm{S}}}{\int }_{-{\mathrm{T}}_{\text{c}}/2}^{{\mathrm{T}}_{\text{c}}/2}\mathrm{M}\left\{{\mathrm{\beta }}_{\mathrm{с}}^{\text{'}}\left(\mathrm{\tau }\right)\right\}{\mathrm{H}}^2\left(\mathrm{\tau }\right)\mathrm{d\tau }\right]$; (9)

${\mathrm{D}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{\beta }}}={\left(\frac{\mathrm{U}}{{\mathrm{q}}_{\mathrm{S}}}\right)}^2\left\{\frac{1}{{\mathrm{T}}_{\mathrm{с}}^2}\right.{\iint }_{-{\mathrm{T}}_{\text{c}}/2}^{{\mathrm{T}}_{\text{c}}/2}{\mathrm{K}}_{{\mathrm{\beta }}_{\mathrm{с}}^{\text{'}}}\left({\mathrm{\tau }}_1,{\mathrm{\tau }}_2\right){\mathrm{H}}^2\left({\mathrm{\tau }}_1\right){\mathrm{H}}^2\left(2\right){\mathrm{d\tau }}_1{\mathrm{d\tau }}_2-{\left[\frac{1}{{\mathrm{T}}_{\text{c}}}{\int }_{-\frac{{\mathrm{T}}_{\text{c}}}{2}}^{\frac{{\mathrm{T}}_{\text{c}}}{2}}\mathrm{M}\left\{{\mathrm{\beta }}_{\mathrm{с}}^{\text{'}}\left(\mathrm{\tau }\right)\right\}{\mathrm{H}}^2\left(\mathrm{\tau }\right)\mathrm{d\tau }\right]}^2+$

$+\frac{2}{{\mathrm{q}}_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{T}}_{\text{c}}}\left(3{\int }_{-{\mathrm{T}}_{\text{c}}/2}^{{\mathrm{T}}_{\text{c}}/2}{\left[{\mathrm{H}}^{\text{'}}\left(\mathrm{\tau }\right)\right]}^2{\mathrm{H}}^2\left(\mathrm{\tau }\right)\mathrm{d\tau }+\right.\left[{\left({\mathrm{\omega }}_0-{\mathrm{\omega }}_{*}\right)}^2+{\mathrm{\omega }}_0{\mathrm{\omega }}_{*}\right]\times$

$\times {\int }_{-{\mathrm{T}}_{\text{c}}/2}^{{\mathrm{T}}_{\text{c}}/2}{\mathrm{H}}^4\left(\mathrm{\tau }\right)\mathrm{d\tau }+\left(2{\mathrm{\omega }}_0-{\mathrm{\omega }}_{*}\right){\int }_{-\frac{{\mathrm{T}}_{\text{c}}}{2}}^{\frac{{\mathrm{T}}_{\text{c}}}{2}}\mathrm{M}\left\{{\mathrm{\beta }}_{\mathrm{с}}^{\text{'}}\left(\mathrm{\tau }\right)\right\}{\mathrm{H}}^4\left(\mathrm{\tau }\right)\mathrm{d\tau }+\left(4{\mathrm{\alpha }}_0-{\mathrm{ka}}_{\mathrm{R}}\right)\times {\int }_{-\frac{{\mathrm{T}}_{\text{c}}}{2}}^{\frac{{\mathrm{T}}_{\text{c}}}{2}}\mathrm{M}\left\{{\mathrm{\beta }}_{\mathrm{с}}^{\text{'}}\left(\mathrm{\tau }\right)\right\}{\mathrm{\tau H}}^4\left(\mathrm{\tau }\right)\mathrm{d\tau }+$

$+\left.{\int }_{-\frac{{\mathrm{T}}_{\text{c}}}{2}}^{\frac{{\mathrm{T}}_{\text{c}}}{2}}\mathrm{M}\left\{{\mathrm{\beta }}_{\mathrm{с}}^{\text{'}}\left(\mathrm{\tau }\right)\right\}{\mathrm{H}}^4\left(\mathrm{\tau }\right)\mathrm{d\tau }\right)+\left.\frac{1}{{\mathrm{q}}_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}}^2}\left[4{\mathrm{H}}^{\text{'}\text{'}}{\overline{)\left(\mathrm{\tau }\right)}}_{\mathrm{\tau }=0}+{\mathrm{\omega }}_0^2\right]\right\}$; (10)

${\mathrm{R}}_{\mathrm{\beta }}^2=\frac{{\mathrm{U}}^2\left(1+1/\mathrm{q}\right)}{2{\mathrm{\pi T}}_{\text{c}}{\mathrm{q}}_{\mathrm{S}}}\left\{\left(1+\frac{1}{{\mathrm{q}}_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}}}\right){\int }_{-\frac{{\mathrm{T}}_{\text{c}}}{2}}^{\frac{{\mathrm{T}}_{\text{c}}}{2}}{\left[{\mathrm{H}}^{\text{'}}\left(\mathrm{\tau }\right)\right]}^2\mathrm{d\tau }+\left(4{\mathrm{\alpha }}_0^2+\frac{{\mathrm{k}}^2{\mathrm{a}}_{\mathrm{R}}^2}{{\mathrm{q}}_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}}}\right)\right.\times {\int }_{-{\mathrm{T}}_{\text{c}}/2}^{{\mathrm{T}}_{\text{c}}/2}{\mathrm{\tau }}^2{\mathrm{H}}^2\left(\mathrm{\tau }\right)\mathrm{d\tau }+\frac{{\mathrm{D}}_{\mathrm{n}\text{'}}}{{\mathrm{D}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{q}}_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}}}{\int }_{-{\mathrm{T}}_{\text{c}}/2}^{{\mathrm{T}}_{\text{c}}/2}{\mathrm{H}}^2\left(\mathrm{\tau }\right)\mathrm{d\tau }+$

$+{\mathrm{T}}_{\text{c}}{\mathrm{q}}_{\mathrm{S}}\left[\left({\mathrm{\omega }}_0^2+\frac{{\mathrm{\omega }}_{*}^2}{\mathrm{q}}\right)-\frac{2\mathrm{\pi }}{1+1/\mathrm{q}}{\left({\mathrm{\omega }}_0+\frac{{\mathrm{\omega }}_{*}}{\mathrm{q}}\right)}^2\right]+4{\mathrm{\alpha }}_0{\int }_{-\frac{{\mathrm{T}}_{\text{c}}}{2}}^{\frac{{\mathrm{T}}_{\text{c}}}{2}}\mathrm{M}\left\{{\mathrm{\beta }}_{\mathrm{с}}^{\text{'}}\left(\mathrm{\tau }\right)\right\}{\mathrm{\tau H}}^2\left(\mathrm{\tau }\right)\mathrm{d\tau }+2\left[{\mathrm{\omega }}_0-\frac{2\mathrm{\pi }}{1+1/\mathrm{q}}\left({\mathrm{\omega }}_0+\frac{{\mathrm{\omega }}_{*}}{\mathrm{q}}\right)\right]\times$

$\times {\int }_{-{\mathrm{T}}_{\text{c}}/2}^{{\mathrm{T}}_{\text{c}}/2}\mathrm{M}\left\{{\mathrm{\beta }}_{\mathrm{с}}^{\text{'}}\left(\mathrm{\tau }\right)\right\}{\mathrm{H}}^2\left(\mathrm{\tau }\right)\mathrm{d\tau }+{\int }_{-{\mathrm{T}}_{\text{c}}/2}^{{\mathrm{T}}_{\text{c}}/2}\mathrm{M}\left\{{\left[{\mathrm{\beta }}_{\mathrm{с}}^{\text{'}}\left(\mathrm{\tau }\right)\right]}^2\right\}{\mathrm{H}}^2\left(\mathrm{\tau }\right)\mathrm{d\tau }-\frac{2\mathrm{\pi }}{{\mathrm{T}}_{\text{c}}{\mathrm{q}}_{\mathrm{S}}\left(1+1/\mathrm{q}\right)}\times \left.{\int }_{-\frac{{\mathrm{T}}_{\text{c}}}{2}}^{\frac{{\mathrm{T}}_{\text{c}}}{2}}\mathrm{M}\left\{{\mathrm{\beta }}_{\mathrm{с}}^{\text{'}}\left(\mathrm{\tau }\right)\right\}{\mathrm{H}}^2\left(\mathrm{\tau }\right)\mathrm{d\tau }\right\}-{\mathrm{D}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{\beta }}}$. (11)

В выражениях (9)–(11) переменные имеют следующие значения:

$K_{{\mathrm{\beta }}_{с}^{\text{'}}}\left({\mathrm{\tau }}_1,{\mathrm{\tau }}_2\right)=M\left\{{\mathrm{\beta }}_{\mathrm{с}}^{\text{'}}\left({\mathrm{\tau }}_1\right){\mathrm{\beta }}_{\mathrm{с}}^{\text{'}}\left({\mathrm{\tau }}_2\right)\right\}$ ― ковариационная функция производной случайного процесса ;

${\mathrm{\omega }}_{*}=k{U}_R$;

$U=\frac{2\mathrm{\pi }}{\left(1+\frac{1}{q}\right)\left[k\left(v_{ЦX_1}-v_{X_1}\right)\text{sin}\gamma \right]}$;

$v_R$ и $a_R$ ― радиальная скорость и ускорение ФЦА относительно опорной точки ${Ц}_0$ [3];

$q=E_{SH}/E_{nH}$;

$q_S=E_{SH}/\left[A^2\left({\mathrm{\beta }}_i\right)T_{\text{c}}\right]$;

${\mathrm{q}}_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}}=\frac{{\mathrm{A}}^2\left({\mathrm{\beta }}_{\mathrm{i}}\right){\mathrm{T}}_{\text{c}}}{{\mathrm{D}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{T}}_{\text{c}}}=\frac{{\mathrm{A}}^2\left({\mathrm{\beta }}_{\mathrm{i}}\right){\mathrm{T}}_{\text{c}}}{{\mathrm{N}}_{\mathrm{п}}}$;

${\mathrm{E}}_{\mathrm{SH}}={\int }_{-{\mathrm{T}}_{\text{c}}/2}^{{\mathrm{T}}_{\text{c}}/2}{\mathrm{A}}^2\left({\mathrm{\beta }}_{\mathrm{i}},\mathrm{\tau }\right){\mathrm{H}}^2\left(\mathrm{\tau }\right)\mathrm{d\tau }\approx {\mathrm{A}}^2\left({\mathrm{\beta }}_{\mathrm{i}}\right){\int }_{-{\mathrm{T}}_{\text{c}}/2}^{{\mathrm{T}}_{\text{c}}/2}{\mathrm{H}}^2\left(\mathrm{\tau }\right)\mathrm{d\tau }$ ― энергия «взвешенного» сигнала;

$E_{nH}={\int }_{-T_{\text{c}}/2}^{T_{\text{c}}/2}{D}_n{H}^2\left(\tau \right)d\tau =D_n{\int }_{-T_{\text{c}}/2}^{T_{\text{c}}/2}{H}^2\left(\tau \right)d\tau$ ― энергия «взвешенной» помехи (шума) $n^{*}\left(\tau \right)$.

Если $n^{*}\left(\tau \right)$ ― эргодический процесс с временем корреляции значительно меньше $T_{\text{c}}$, а $H\left(\tau \right)$ при $\left|\mathrm{\tau }\right|=\frac{T_{\text{c}}}{2}$ равна или близка к нулю, то

${\int }_{-T_{\text{c}}/2}^{T_{\text{c}}/2}{n}^2\left(\tau \right)H^2\left(\tau \right)d\tau \approx T_{\text{c}}\underset{T_{\text{c}}\to \infty }{\lim }\frac{1}{T_{\text{c}}}{\int }_{-T_{\text{c}}/2}^{T_{\text{c}}/2}{n}^2\left(\tau \right)H^2\left(\tau \right)d\tau =E_{nH}.$

В случае стационарности процесса ${\mathrm{\beta }}_{\mathrm{с}}\left(\mathrm{\tau }\right)$

$M\left\{{\mathrm{\beta }}_{\mathrm{с}}^{\text{'}}\left(\mathrm{\tau }\right)\right\}=0$, $M\left\{{\left[{\mathrm{\beta }}_{\mathrm{с}}^{\text{'}}\left(\mathrm{\tau }\right)\right]}^2\right\}=D_{{\mathrm{\beta }}_{\mathrm{с}}^{\text{'}}}$,

$K_{{\mathrm{\beta }}_{\mathrm{с}}^{\text{'}}}\left({\tau }_1,{\tau }_2\right)=R_{{\mathrm{\beta }}_{\mathrm{с}}^{\text{'}}}\left({\tau }_2-{\tau }_1\right)$,

($D_{{\mathrm{\beta }}_{\mathrm{с}}^{\text{'}}}$ ― дисперсия производной стационарного фазового шума; $R_{{\mathrm{\beta }}_{\mathrm{с}}^{\text{'}}}\left({\mathrm{\tau }}_2-{\mathrm{\tau }}_1\right)$ ― его корреляционная функция), и (9)–(11) значительно упрощаются.

С помощью (9)–(11) можно оценивать раздельное и одновременное влияние ФФ и аддитивной помехи (шума) на основные характеристики САА при обработке сигналов как способом гармонического анализа, так и способом «прямой» свертки, если в них ${\mathrm{\beta }}_i=0$.

В [8–11] проведен качественный анализ влияния нестационарного и стационарного фазового шума на разрешающую способность САА и точность определения азимута наземных объектов, характеризуемую значениями $m_{\mathrm{\beta }}$ и $D_{m_{\mathrm{\beta }}}$ при различных способах обработки сигналов.

На рис. 2 представлены графики зависимости $\frac{m_{\mathrm{\omega }}}{2\mathrm{\pi }}=f\left(\frac{1}{\sqrt{q}}\right)$, на рис. 3 ― $\frac{D_m}{4{\mathrm{\pi }}^2}=f\left(\frac{1}{\sqrt{q}}\right)$, на рис. 4 ― $R_{\mathrm{\omega }}=f\left(\frac{1}{\sqrt{q}}\right)$, рассчитанные при фазовых флюктуациях, которые связаны с $m_{\mathrm{\beta }}$, $D_{m_{\mathrm{\beta }}}$ и ${\mathrm{\delta \beta }}_A$ линейными соотношениями (6).

 

Рис. 2. Зависимость m_ω/2π от величины f (1/q^0,5).

Fig. 2. Dependence of m_ω/2π on f (1/q^0,5).

 

Рис. 3. Зависимость D_m/4π² от величины f (1/q^0,5).

Fig. 3. Dependence of D_m/4π² on f (1/q^0,5).

 

Рис. 4. Зависимость R_ω от величины f (1/q^0,5).

Fig. 4. Dependence of R_ω on f (1/q^0,5).

 

Некоторый сдвиг значений $\frac{m_{\mathrm{\omega }}}{2\mathrm{\pi }}$ вверх при $\frac{1}{\sqrt{q}}=0$ обусловлен смещением цели ${Ц}_i$ относительно центра кадра РЛИ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, рассмотрено и проанализировано влияние фазовых флуктуаций и аддитивной помехи (шума) на характеристики синтезированной апертурной антенны. Получены соотношения для оценки разрешающей способности и точности определения азимута в радиолокационной станции с синтезированной апертурной антенной в условиях воздействия фазовых флуктуаций отраженного сигнала и аддитивных помех при произвольной траектории движения летательного аппарата и наземных объектов. Показано, что в условиях воздействия аддитивных помех (шума) математическое ожидание и дисперсия углового положения объекта, а также длительность выходного сигнала по угловому параметру зависят от соотношения энергетических характеристик этого шума и отраженного сигнала.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

Вклад авторов. Все авторы внесли существенный вклад в разработку концепции, проведение исследования и подготовку статьи, прочли и одобрили финальную версию перед публикацией. Личный вклад каждого автора: Е.К. Самаров — разработка концепции, проведение исследования, подготовка статьи и одобрение финальной версии перед публикацией; И.В. Евграфова — участие в проведении исследования и подготовке статьи.

Источник финансирования. Авторы заявляют об отсутствии внешнего финансирования при проведении исследования.

Конфликт интересов. Авторы декларируют отсутствие явных и потенциальных конфликтов интересов, связанных с публикацией настоящей статьи.

ADDITIONAL INFORMATION

Authors’ contribution. All authors made a substantial contribution to the conception of the study, acquisition, analysis, interpretation of data for the work, drafting and revising the article, final approval of the version to be published and agree to be accountable for all aspects of the study. Personal contribution of each author: E.K. Samarov, conceptualising, researching and drafting the article and approving the final version before publication; I.V. Evgrafova, participation in the research and preparation of the article.

Funding source. This study was not supported by any external sources of funding.

Competing interests. The authors declare that they have no competing interests.

About the authors

Evgeny K. Samarov

Saint Petersburg State Marine Technical University

Author for correspondence.
Email: omega511@mail.ru
SPIN-code: 1077-2126

Dr. Sci. (Engineering), Head of the Department of Mathematics

Russian Federation, 3 Lotsmanskaya st, Saint Petersburg, 190121

Irina V. Evgrafova

Saint Petersburg State Marine Technical University

Email: spbmtu@yandex.ru

Cand. Sci. (Pedagogy); Dean of the Faculty of Natural Sciences and Humanities

Russian Federation, 3 Lotsmanskaya st, Saint Petersburg, 190121

References

Supplementary files