Нелинейные вариационные неравенства с двусторонними ограничениями, совпадающими на множестве положительной меры

Рассмотрены вариационные неравенства с обратимыми операторами ${\mathcal{A}}_s: W_0^{\mathrm{1,}p}\left(\Omega \right)\to W^{-\mathrm{1,}{p}^{\text{'}}}\left(\Omega \right), s\in \mathbb{N}$, дивергентного вида и множеством ограничений$V=\left\{v\in W_0^{\mathrm{1,}p}\left(\Omega \right): \phi \le v\le \psi п.в. в \Omega \right\}$, где Ω – непустое ограниченное открытое множество в ${ℝ}^n\left(n\ge 2\right)$, p > 1 и $\phi ,\psi : \Omega \to \overline{ℝ}$ – измеримые функции. В предположении, что операторы ${\mathcal{A}}_s$ G-сходятся к обратимому оператору $\mathcal{A}: W_0^{\mathrm{1,}p}\left(\Omega \right)\to W^{-\mathrm{1,}{p}^{\text{'}}}\left(\Omega \right)$, int {φ = ψ} ≠ ∅, $meas\left(\partial \left\{\phi =\psi \right\}\cap \Omega \right)=0$ и существуют функции $\overline{\phi }, \overline{\psi }\in W_0^{\mathrm{1,}p}\left(\Omega \right)$, такие, что $\phi \le \overline{\phi }\le \overline{\psi }\le \psi$ п.в. в Ω и $meas\left(\left\{\phi \ne \psi \right\}\backslash \left\{\overline{\phi }\ne \overline{\psi }\right\}\right)=0$ установлена слабая сходимость в $W_0^{\mathrm{1,}p}\left(\Omega \right)$ решений u_s указанных вариационных неравенств к решению u аналогичного вариационного неравенства с оператором $\mathcal{A}$ и множеством ограничений V. Принципиальное отличие рассмотренного случая от ранее исследованного случая, в котором meas {φ = ψ} = 0 состоит в том, что, вообще говоря, функционалы ${\mathcal{A}}_s{u}_s$ не сходятся к $\mathcal{A}u$ даже слабо в W^{–1, p'} (Ω) и интегралы энергии $<{\mathcal{A}}_s{u}_s, u_s>$ не сходятся к $<\mathcal{A}u, u>$.