Том 59, № 4 (2023)

Для некоторого класса нелинейных систем дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием исследуются условия асимптотической устойчивости нулевого решения и предельной ограниченности решений. Для получения таких условий предлагаются специальные конструкции функционалов Ляпунова--Красовского полного типа. Находятся оценки времени переходных процессов и проводится анализ влияния возмущений на динамику систем. Кроме того, исследуется случай, когда в системах имеются переключения режимов функционирования, и определяются условия, при выполнении которых асимптотическая устойчивость или предельная ограниченность сохраняются при любых допустимых законах переключения.

Для уравнения поперечных колебаний однородной балки рассматривается прямая начальная задача в бесконечной области, для неё изучается обратная задача по определению зависящего от времени коэффициента жёсткости балки. Приводится решение прямой задачи с помощью фундаментальных решений и доказываются существование и единственность этого решения. Получены оценки устойчивости для решения обратной задачи. С помощью принципа сжатых отображений Банаха доказаны теоремы существования и единственности решения обратной задачи.

Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа для $\Delta_{B}$-оператора Киприянова, называются $K$-гармоническими. В работе приведены и доказаны следующие свойства $K$-гармонических функций: интегральное представление типа Грина $C^2$-функций, теорема о сферическом среднем, принцип максимума. В качестве следствия доказана единственность решения внутренней и внешней задач Дирихле.

Рассматривается начально-краевая задача для интегро-дифференциальной системы, описывающей трёхмерное течение неньютоновской жидкости с памятью в сетеподобной области. При постановке задачи используются краевые условия Дирихле для поля скоростей и давления, а также условия трансмиссии типа Кирхгофа во внутренних узлах сети. Доказана теорема о существовании и единственности непрерывного по времени слабого решения. Кроме того, выведено энергетическое равенство, которому удовлетворяет это решение.

Исследована задача оптимального управления с нерегулярным смешанным ограничением, линейным по переменной управления. Предложены необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина для такого класса задач. Рассмотрены соответствующие примеры.

Исследована задача об устойчивости нулевого положения равновесия переключаемой аффинной системы, замкнутой линейной статической обратной связью по состоянию. Введено понятие допустимого управления для заданного множества переключающих сигналов и получено конструктивное условие проверки указанного свойства для произвольной линейной обратной связи. Сформулировано достаточное условие устойчивости нулевого положения равновесия переключаемой аффинной системы, замкнутой допустимым управлением.