Том 59, № 5 (2023)

Исследована первая краевая задача для дифференциального оператора второго порядка с сингулярным коэффициентом на отрезке с условиями сопряжения в его внутренней точке. Получены асимптотические формулы для собственных функций и собственных значений как прямого, так и сопряжённого операторов. Установлены полнота и безусловная базисность систем собственных функций этих операторов в пространстве суммируемых с квадратом функций на отрезке. Применён метод Ильина и условия Ильина для установления справедливости неравенства Бесселя.

Получены необходимые условия суммируемости спектральных разложений по собственным функциям эллиптического оператора с оператором Бесселя по одной из переменных в произвольной $N$-мерной области, примыкающей к гиперповерхности сингулярности. Доказано, что если спектральное разложение произвольной функции в некоторой точке данной гиперповерхности суммируется средними Рисса, то её среднее значение по полушару с центром в указанной точке обладает обобщённой гладкостью.

Представлен обзор развития метода распространяющихся волн для одномерных сред. Приведены основные результаты и изменения в постановках задачи представления решений линейных систем уравнений с частными производными через ``распространяющиеся волны'' (а точнее -- через систему уравнений переноса волн). Показано, что по мере усложнения исследования систем задача представления решения методом распространяющихся волн оказывается применимой не только для гиперболических систем, но и для систем, содержащих (даже неявно) и параболические, и эллиптические составляющие, и приближается тем самым к общей задаче декомпозиции произвольной системы линейных уравнений в систему уравнений первого порядка с главной частью канонического типа и с подчинённой ей линейной частью.

Для гиперболической системы с некратными характеристиками в $n $-мерном пространстве независимых переменных доказаны существование и единственность решения задачи Дарбу. Определена матрица Римана--Адамара и построено решение задачи Дарбу в терминах указанной матрицы. В качестве примера применения полученных результатов подробно построено решение задачи Дарбу для системы в случае четырёх независимых переменных.

Доказывается существование решений краевой задачи для системы пяти нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка при заданных нелинейных граничных условиях, описывающей состояние равновесия упругих пологих неоднородных изотропных оболочек с незакреплёнными краями в рамках сдвиговой модели Тимошенко, отнесённых к изометрическим координатам. Краевая задача сводится к нелинейному операторному уравнению относительно обобщённых перемещений в соболевском пространстве, разрешимость которого устанавливается с использованием принципа сжатых отображений.

Рассматриваются интегро-дифференциальные уравнения (ИДУ) с быстро осциллирующей неоднородностью и с интегральным оператором типа Вольтерры, ядра которых могут содержать как классическую быстро убывающую экспоненту (простейший случай), так и фундаментальные решения дифференциальных систем (общий случай). Трудность построения регуляризованной (по С.А. Ломову) асимптотики в общем случае обусловлена сложной асимптотической структурой фундаментальной матрицы решений (матрицы Коши) однородной дифференциальной системы. В данной работе сначала строится регуляризованная асимптотика матрицы Коши, которая затем применяется для построения регуляризованной асимптотики решения ИДУ.