ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Рассматривается квазилинейное гиперболическое уравнение, главная часть которого представляет собой чисто волновой оператор, а младшая часть содержит два нелинейных члена с коэффициентами p и q, имеющими компактный носитель, содержащийся в шаре B. Изучаются прямая задача о падении плоской волны на неоднородность, локализованную в B, и обратная задача, состоящая в определении коэффициентов p и q по информации о решении серии прямых задач, зависящих от направления падения плоской волны. Выписывается асимптотическое разложение решения прямой задачи в окрестности фронта бегущей плоской волны, и на этой основе обратная задача сводится к двум линейным задачам, решаемым последовательно одна за другой. Задача об определении коэффициента p приводится к классической задаче рентгеновской томографии, а задача об определении коэффициента q сводится к более сложной задаче интегральной геометрии. Последняя состоит в определении функции через интегралы от нее по прямым с некоторой заданной весовой функцией. Эта задача является новой, она исследуется и для нее устанавливается теорема единственности и устойчивости решения. Библ. 26.

Об авторах

В. Г Романов

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН

Email: romanov@math.nsc.ru
Новосибирск, Россия

Список литературы

  1. Kurylev Y., Lassas M., Uhlmann G. Inverse problems for Lorentzian manifolds and non-linear hyperbolic equations // Invent. Math. 2018. V. 212. P. 781–857.
  2. Lassas M., Uhlmann G., Wang Y. Inverse problems for semilinear wave equations on Lorentzian manifolds // Commun. Math. Phys. 2018. V. 360. P. 555–609.
  3. Lassas M. Inverse problems for linear and non-linear hyperbolic equations // Proc. Internat. Congress Math. 2018. V. 3. P. 3739–3760.
  4. Hintz P., Uhlmann G. Reconstruction of Lorentzian manifolds from boundary light observation sets // Internat. Math. Res. Notices. 2019. V. 22. P. 6949–6987.
  5. Hintz P., Uhlmann G., Zhai J. An inverse boundary value problem for a semilinear wave equation on Lorentzian manifolds // Internat. Math. Res. Notices. 2022. V. 17. P. 13181–13211.
  6. Uhlmann G., Zhai J. On an inverse boundary value problem for a nonlinear elastic wave equation // J. Math. Pures Appl. 2021. V. 153. P. 114–136.
  7. Wang Y., Zhou T. Inverse problems for quadratic derivative nonlinear wave equations // Commun. Partial Diff. Equat. 2019. V. 44. № 11. P. 1140–1158.
  8. Barreto A.S. Interactions of semilinear progressing waves in two or more space dimensions // Inverse Probl. Imaging. 2020. V. 14. № 6. P. 1057–1105.
  9. Barreto A.S., Stefanov P. Recovery of a cubic non-linearity in the wave equation in the weakly nonlinear regime // Commun. Math. Phys. 2022. V. 392. P. 25–53.
  10. Lassas M., Liimatainen T., Potenciano-Machado L., Tyni T. Uniqueness and stability of an inverse problem for a semi-linear wave equation // J. Diff. Equat. 2022. V. 337. P. 395–435.
  11. Barreto A.S., Uhlmann G., Wang Y. Inverse scattering for critical semilinear wave equations // Pure and Appl. Analys. 2022. V. 4. № 2. P. 191–223.
  12. Романов В.Г. Одномерная обратная задача для нелинейных ур-ний электродинамики // Дифференц. ур-ния. 2023. Т. 59. № 10. С. 1397–1411.
  13. Романов В.Г. Обратная задача для волнового уравнения с нелинейным поглощением // Сиб. матем. журн. 2023. Т. 64. № 3. С. 635–652.
  14. Романов В.Г. Оценка устойчивости в обратной задаче для нелинейного гиперболического уравнения // Сиб. матем. журн. 2024. Т. 65. № 3. С. 560–576.
  15. Романов В.Г. Обратная задача для волнового уравнения с двумя нелинейными членами // Дифференц. ур-ния. 2024. Т. 60. № 4. С. 508–520.
  16. Romanov V.G., Bugueva T.V. An inverse problem for a nonlinear hyperbolic equation // Eurasian J. of Math. and Comp. Appl. 2024. V. 12. № 2. P. 134–154.
  17. Romanov V.G., Bugueva T.V. An one-dimensional inverse problem for the wave equation // Eurasian J. of Math. and Comp. Appl. 2024. V. 12. № 3. P. 135–162.
  18. Романов В.Г. Обратная задача для квазилинейного волнового уравнения // Сириус. Матем. журн. 2024. Т. 1. № 1. С. 105–112.
  19. Романов В.Г. Обратная задача для нелинейного уравнения переноса // Сиб. матем. журн. 2024. Т. 65. № 5. С. 1022–1028.
  20. Radon J. Uber die bestimmung von funktionen durch ihre integralwerte langs gewisser mannigfaltigkeiten // Berichte Sachsische Akademie der Wissenschaften. 1917. Bande 29. P. 262–277.
  21. Cormack A.M. Representation of a function by its line integrals, with some radiological applications // J. of Appl. Phys. 1963. V. 34. P. 2722–2727.
  22. Cormack A.M. Early two-dimensional reconstruction and recent topics stemming from it // Nobel Lectures in Physiology or Medicine 1971–1980. World Sci. Publ. Co, 1992. P. 551–563.
  23. Deans S.R. The Radon Transform and Some of Its Applications. New York: John Wiley & Sons, 1983. 289 p.
  24. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тихонов А.А. Математические задачи компьютерной томографии. М.: Физматлит, 1987. 160 с.
  25. Hammerpep Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. М.: Мир, 1990. 288 с.
  26. Мухометов Р.Г. Задача восстановления двумерной римановой метрики и интегральная геометрия // Докл. AH CCCP. 1977. Т. 232. № 1. С. 32–35.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Российская академия наук, 2025