АПОСТЕРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В ТЕРМИНАХ ЛОКАЛЬНЫХ НОРМ И ЦЕЛЕВЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Получены функциональные соотношения, которые позволяют оценивать точность приближенных решений в терминах мер, существенно отличных от энергетических норм, которые обычно используются для этих целей. В частности, они применимы к локальным нормам и мерам, построенным с помощью специально построенных линейных функционалов. Потребность в таких инструментах контроля точности возникает, если имеется особый интерес к поведению решения в некоторой подобласти или к специальным свойствам решения. Показано, что апостериорные оценки функционального типа, которые ранее использовались для глобальных оценок, могут быть адаптированы и для решения этой задачи. Получены функциональные тождества и оценки, позволяющие оценивать погрешность любых конформных аппроксимаций в терминах широкого класса мер, включающих локальные нормы и проблемно-ориентированные функционалы. Теоретические результаты проверены в серии примеров, которые подтверждают эффективность предлагаемого метода. Библ. 13. Фиг. 10. Табл. 10.

Об авторах

А. В. Музалевский

Санкт-Петербургский Политехнический университет Петра Великого

Санкт-Петербург, Россия

С. И. Репин

Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова РАН; Санкт-Петербургский Политехнический университет Петра Великого

Email: repin@pdmi.ras.ru
Санкт-Петербург, Россия; Санкт-Петербург, Россия

М. Е. Фролов

Санкт-Петербургский Политехнический университет Петра Великого

Санкт-Петербург, Россия

Список литературы

  1. Bangerth W., Rannacher R. Adaptive finite element methods for differential equations. Berlin: Birkhauser, 2003.
  2. Johnson C., Hansbo P. Adaptive finite elements in computational mechanics // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 1992. V. 101. P. 143–181.
  3. Johnson C., Szepessy A. Adaptive finite element methods for conservation laws based on a posteriori error estimates // Commun. Pure and Appl. Math. 1995. V. XLVIII. P. 199–234.
  4. Mommer M.S., Stevenson R. A goal-oriented adaptive finite element method with convergence rates // SIAM J. Numer. Anal. 2009. V. 47. № 2. P. 861—886.
  5. Stein E., Ruter M., Ohnimus S. Error-controlled adaptive goal-oriented modeling and finite element approximations in elasticity // Comput. Meth. Appl. Mech. Engrg. 2007. V. 196. № 37—40. P. 3598—3613.
  6. Repin S. I. A posteriori error estimation for variational problems with uniformly convex functionals // Math. Comput. 2000. V. 69. № 230. P. 481–500.
  7. Repin S. A posteriori estimates for partial differential equations. Berlin: Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, 2008.
  8. Репин С.И. Тождество для отклонений от точного решения задачи A u + ` = 0 и его следствия // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2021. Т. 61. № 12. С. 22–45.
  9. Repin S., Sauter S. Accuracy of Mathematical Models. Dimension Reduction, Simplification, and Homogenization. EMS Tracts in Mathematics. Vol. 33. 2020.
  10. Репин С.И. Оценки отклонения от точных решений краевых задач в мерах более сильных, чем энергетическая норма // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2020. Т. 60. № 5. С. 767–783
  11. Repin S.I. A posteriori estimates in local norms // J.Math. Sci. 2004. V. 124 № 3. P. 5026–5035.
  12. Prager W., Synge J.L. Approximations in elasticity based on the concept of functions space // Quart. Appl. Math. 1947. V. 5. P. 241–269.
  13. Mikhlin S.G. Variational Methods in Mathematical Physics. Oxford: Pergamon Press, 1964.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Российская академия наук, 2024