Аналитические решения математических моделей сложного теплообмена

В математических моделях аналитической теплофизики задачи нестационарной теплопроводности с граничным условием вида (∂T / ∂n)_Г = h (t) [T|_Г – T_c (t)], t > 0 занимают особое место и относятся к сложному теплообмену вследствие зависимости относительного коэффициента теплообмена h = α / λ* от времени: h = α (t) / λ* = h (t) (α – коэффициент теплообмена, λ* – коэффициент теплопроводности) [1]. Считается, что α определяется только температурным напором. Однако эксперименты показывают [2–4], что в нестационарных процессах α является неравновесной величиной и значительно более существенно зависит от времени, чем от температуры. Учитывая, что его практическое определение весьма затруднительно, во всех критериальных уравнениях теплоотдачи он принимается постоянной величиной α = const (h = α / λ* = const). В этом случае становится возможным получать точные аналитические решения соответствующих задач теплопроводности в виде интегралов Фурье–Ханкеля для частично ограниченных областей или в виде рядов Фурье–Ханкеля для ограниченных областей канонического типа. Для этих целей разработаны специальные таблицы, вошедшие в теплофизику как таблицы Карташова № (1–2), позволяющие в считаные минуты по специальной методике в № 1 выписать точное аналитическое решение тепловой задачи [5–6] в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат и далее улучшить решение в виде ряда по методике в № 2 до абсолютной и равномерной сходимости вплоть до границы области определения дифференциального уравнения теплопроводности. В случае зависимости коэффициента h от времени (h = h (t)) ситуация с нахождением аналитического решения задачи резко меняется: точное решение получить не удается. Трудность заключается в том, что, оставаясь в рамках классических методов математической физики [7–9], не удается согласовать решение уравнения теплопроводности с граничным условием теплообмена при переменном h (t), и до настоящего времени указанная проблема остается открытой, несмотря на попытки огромного числа исследователей по данной проблеме аналитической теплофизики.

В настоящей статье развивается метод расщепления обобщенного интегрального преобразования Фурье, что позволило получить в конечном счете точное аналитическое решение тепловой задачи при произвольной зависимости h (t)  вначале в цилиндрических координатах (радиальный поток теплоты в бесконечной области, ограниченной изнутри цилиндрической полостью), а затем в декартовых (полупространство, ограниченное плоской поверхностью). Полученные результаты составляют научную новизну работы.