Fractal analysis and problem-solving to identify the characteristics of time series in system diagnosis

Full Text

Введение во фрактальные временные ряды Математическая культура долгое время была одержима гладким и симметричным. Фрактальная геометрия в отличие от евклидовой основывается на грубости и асимметрии. «Самоподобие» является определяющим свойством фракталов. Большинство естественных структур, особенно живые существа, обладают этим свойством. Вторая проблема, возникающая при применении евклидовой геометрии к нашему миру, - это проблема размерности. Восприятие размерности может изменяться в зависимости от нашего расстояния от объекта. Мы увидим разницу между гладкостью евклидового мира и грубостью нашего мира, что ограничивает пригодность евклидовой геометрии как метода описания [2]. Противоречия между симметрией евклидовой геометрии и асимметрией реального мира могут быть далее продлены до нашего понятия времени. Так в науке сложилось, что события рассматриваются либо как случайные, либо как детерминированные. Во фрактальном времени случайность и детерминизм, хаос и порядок сосуществуют. Время не имело значения в механике Ньютона. Теоретически время могло быть повернуто в обратную сторону, потому что уравнения Ньютона работали одинаково хорошо независимо от того, шло ли время вперед или назад. В то же время такой процесс, как смешение жидкостей зависит от времени и необратим. В термодинамике стрелка времени указывает только в будущее. Появление квантовой механики подорвало детерминистическое представление о вселенной. Но все еще оставалось сомнение: вселенная детерминирована или случайна? Постепенно стало очевидным, что самые естественные системы характеризуются локальной случайностью и глобальным детерминизмом. Эти противоположные состояния должны сосуществовать. Детерминизм даст нам закон природы, в котором случайность привносит новшество и разнообразие. Здоровая, развивающаяся система - это та, которая не только может пережить случайные удары, но также может поглотить такие удары, чтобы улучшить всю систему, когда это станет целесообразным. В науке хаоса и фракталов случайность и необходимость сосуществуют. В этих системах энтропия высока, но никогда не достигает максимального состояния беспорядка из-за глобального детерминизма. Хаотические системы экспортируют свою энтропию или «рассеивают» ее, аналогично тому, как механические устройства рассеивают часть своей энергии как трение. Игра хаоса показывает, что локальная случайность и глобальный детерминизм могут сосуществовать, чтобы создать стабильную, самоподобную структуру, которую и называют фракталом. Бенуа Мандельброт, отец фрактальной геометрии, не сформулировал точного определения фрактала. Приведем фрактальные множества Б. Мандельброта и Г. Жюлиа, полученные из разработанной нами программы. Рис. 1. Фракталы Фракталы имеют определенные особенности, которые измеримы, и свойства, которые являются желательными для целей моделирования. Первое свойство - самоподобие. Оно означает, что части в некотором роде связаны с целым. Это свойство самоподобия делает фрактал масштабно-инвариантным. Фрактальные зависимости имеют вид прямой на графиках, где обе оси имеют логарифмический масштаб. Модели, описываемые таким образом, должны использовать степенную зависимость (вещественное число, возведенное в степень). Эта особенность масштабирования по степенному закону является вторым свойством фракталов, фрактальной размерностью, которая может описывать либо физическую структуру, либо временной ряд. (1) Фрактальная размерность D характеризует то, как предмет заполняет пространство. Фрактальная размерность временного ряда измеряет, насколько изрезанным является временной ряд. Фрактальная размерность временного ряда важна, потому что она признает, что процесс может быть где-то между детерминистическим (линия с фрактальной размерностью 1) и случайным (фрактальная размерность 1,5). Фактически, фрактальная размерность линии может находиться в пределах от 1 до 2. При значениях 1,5 < ш < 2 временной ряд более зазубрен, чем случайная последовательность, или имеет больше инверсий. Само собой разумеется, статистика временного ряда с фрактальными размерностями, отличными от 1,5, сильно отличалась бы от гауссовой статистики и не обязательно находилась бы в пределах нормального распределения. Существуют несколько подходов к определению фрактальной размерности: 1) клеточная размерность; 2) поточечная размерность; 3) корреляционная размерность; 4) информационная размерность. Клеточная размерность. Используется при исследовании размерности линий и площадей с фрактальной природой. Ее суть заключается в том, что линия или площадь накрывается сеткой с размером ячейки δ. Затем подсчитывается количество клеток N(δ), накрывающих исследуемую линию (или площадь). Далее величина δ несколько раз уменьшается, и для каждого нового значения δ определяется соответствующее количество клеток N(δ). На рисунке 2 приведена иллюстрация этого процесса. δ1 δ2 δ3 Рис. 2. Покрытие кривой линии клетками с различными размерами δ В результате этого получаем несколько пар значений (N(δ), δ), для которых вычисляем логарифмы. Теперь построим систему координат в двойном логарифмическом масштабе lg N(δ) lg δ и нанесем точки с координатами [lg N(δ), lg δ] на плоскости. Проведем прямую линию через эти точки, как показано на рисунке 3. Подпись: Log(N(δ)) Log(δ) δi δi δi N(δi)=10 N(δi)=30 N(δi)=99 Рис. 3. Построение системы координат с двойным логарифмитеским масштабом Далее определим угол наклона этой линии α, как показано на рисунке 4. Клеточная фрактальная размерность D представляется выражением: D = tg α. Рис. 4. Определение клеточной фрактальной размерности по наклону прямой линии Поточечная (фрактальная) размерность. Рассмотрим какую-нибудь траекторию в фазовом пространстве на протяжении длительного времени (рис. 5). Проведем выборку точек на траектории (достаточно большое число No) произвольным образом. Опишем вокруг какой-нибудь точки х0 на траектории сферу диаметра δ (или куб с ребром δ) и подсчитаем число выборочных точек, попавших внутрь сферы. Вероятность того, что выборочная точка окажется внутри сферы, определяется выражением: (2) где No - общее число точек на траектории. Выборочные точки Траектория в фазовом пространстве δ L x0 x3 x2 x1 Рис. 5. Геометрические построения для нахождения поточчной (фрактальной) размерности Размерность траектории для некоторой области точек X(i) фазового пространства имеет вид: (3) После небольших преобразований формулу (3) можно привести к формуле (1). Корреляционная (фрактальная) размерность широко используется для определения меры упорядоченности движений и является нижней оценкой хаусдорфовой размерности странного аттрактора. Фрактальный анализ способствовал появлению новых научных дисциплин и подходов оценки функционирования различных систем. Теория хаоса и фрактальная статистика предлагают нам новый способ понимания того, как функционируют рынки и экономики. Нет гарантий того, что нам будет легче зарабатывать деньги, но, тем не менее, мы будем более приспособлены к разработке стратегий и оценке рисков. Нестационарные временные ряды можно разделить по типу нестационарности на три достаточно общих класса[1; 3; 4]: · ряды, нестационарные в малом, когда сохраняется закон распределения или его основные параметры, а меняется математическое ожидание или дисперсия; · ряды, нестационарные в большом, когда меняется, например, закон распределения; · существенно нестационарные ряды, когда не только меняется закон распределения случайной величины, но и не существует аналитического представления тренда временного ряда, т.е. его невозможно выделить в виде функциональной зависимости. К этому классу временных рядов относятся многие экономические временные ряды, для которых характерна схема частичного управления и частая смена определяющего случайный процесс комплекса условий.

About the authors

T. B Kaziakhmedov

Nizhnevartovsk State University

Email: ktofik@yandex.ru
Associate Professor at the Department of Computer Science and Methods of Teaching Computer Science

References

Supplementary files